<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">7. Nilpotente Matrizen, Nilpotenzgrad, Jordansche Normalenform, Transformationsmatrix und Jordan-Chevalley-Zerlegung</Text-field>

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">7.1. Nilpotente Matrizen und Nilpotenzgrad:</Text-field>

Erinnerung: Sei A eine nxn-dimensionale quadratische reelle oder komplexe Matrix. Dann sind \303\244quivalent: (1): A ist nilpotent (2): Das charakteristische Polynom von A hat die Form (-1)^n*x^n (3): Das Minimalpolynom von A hat die Form x^k f\303\274r ein k<=n (4): Die Matrix A ist \303\244hnlich zu einer echten oberen Dreiecksmatrix (d.h. 0'en auf der Diagonalen) (5): A^n=0 Bemerke: Die einzige nilpotente Matrix, die diagonalisierbar ist, ist die Nullmatrix. Die Matrix A hei\303\237t nilpotent, falls A^n=0 gilt. Die kleinste nat\303\274rliche Zahl k mit A^k=0 hei\303\237t Nilpotenzgrad.

Um zu \303\274berpr\303\274fen, ob eine Matrix A nilpotent ist, muss man leider eigenst\303\244ndig vorgehen und kann keine vorgefertigten Funktionen verwenden. Sei A eine nxn-dimensionale quadratische reelle oder komplexe Matrix. Um zu \303\274berpr\303\274fen, ob A nilpotent ist, testen wir, ob A^n gleich der nxn-dimensionalen Nullmatrix ist. Beispiel:

with(LinearAlgebra): A := Matrix([[0,0,0],[0,0,2],[0,0,0]]); Equal(A^(Dimension(A)[1]),ZeroMatrix(Dimension(A)[1]));

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

NiNJJXRydWVHJSpwcm90ZWN0ZWRH

Leider gibt es auch f\303\274r den Nilpotenzgrad keine von Maple mitgelieferte Funktion. Wir berechnen den Nilpotenzgrad mit einer for-Schleife. Um einigen Problemen vorzubeugen, \303\274berpr\303\274fen wir vorab, ob A tats\303\244chlich quadratisch ist und ob die Determinante von A ungleich 0 ist. (Bemerke: Prozeduren sowie Schleifen (do while) und if-else-Anweisungen werden in dieser Veranstaltung voraussichtlich nicht behandelt). Beispiel:

restart: with(LinearAlgebra): A := Matrix([[0,1,1],[0,0,1],[0,0,0]]): N := 100: for i from 1 to N do if (Dimension(A)[1]<>Dimension(A)[2]) then print("Die Matrix ist nicht quadratisch!"); break: elif (Determinant(A)<>0) then print("Die Matrix ist nicht nilpotent!"); break: fi: if Equal(A^i,ZeroMatrix(Dimension(A)[1])) then k:=i; break: fi: od: k;

NiMiIiQ=

Aufgaben: Man \303\274berpr\303\274fe, ob die folgenden Matrizen nilpotent sind und bestimme gegebenenfalls ihren Nilpotenzgrad a) (0,1,1), (0,0,1), (0,0,0) b) (0,-1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), (0,0,0,0) c) (0,1,0,0), (0,0,0,0), (0,0,0,0), (0,0,0,0)

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">7.2. Jordansche Normalenform und Tansformationsmatrix:</Text-field>

Sei A eine nxn-dimensionale quadratische reelle oder komplexe Matrix. Die Jordansche Normalenform dieser Matrix A kann man mit der Funktion "JordanForm(A)" (bzw. "jordan(A)") aus dem Paket "LinearAlgebra" (bzw. "linalg") bestimmen. Beispiel:

with(LinearAlgebra): A := Matrix([[0,-2,-2,-2],[-3,1,1,-3],[1,-1,-1,1],[2,2,2,4]]); J:=JordanForm(A);

-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibGF'6#-I*mverbatimGF$6#Qe`gl>-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6%Q"A6"/%'italicGQ%true6"/%,mathvariantGQ'italic6"-I(mfencedG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6#-I'mtableG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"68-I$mtrG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6)-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"06"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"-I$mtrG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6)-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"36"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"36"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"-I$mtrG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6)-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I%mrowG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$-I#moG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6-Q*&uminus0;6"/%,mathvariantGQ'normal6"/%&fenceGQ&false6"/%*separatorGQ&false6"/%)stretchyGQ&false6"/%*symmetricGQ&false6"/%(largeopGQ&false6"/%.movablelimitsGQ&false6"/%'accentGQ&false6"/%'lspaceGQ,0.2222222em6"/%'rspaceGQ,0.2222222em6"-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"16"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"-I$mtrG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6)-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"26"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"-I$mtdG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6(-I#mnG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6$Q"46"/%,mathvariantGQ'normal6"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%(rowspanGQ"16"/%+columnspanGQ"16"/%)rowalignGQ!6"/%,columnalignGQ!6"/%+groupalignGQ!6"/%&alignGQ%axis6"/%)rowalignGQ)baseline6"/%,columnalignGQ&right6"/%+groupalignGQ'|grfrleft|grhr6"/%/alignmentscopeGQ%true6"/%,columnwidthGQ%auto6"/%&widthGQ%auto6"/%+rowspacingGQ&1.0ex6"/%.columnspacingGQ&0.8em6"/%)rowlinesGQ%none6"/%,columnlinesGQ%none6"/%&frameGQ%none6"/%-framespacingGQ,0.4em|ir0.5ex6"/%*equalrowsGQ&false6"/%-equalcolumnsGQ&false6"/%-displaystyleGQ&false6"/%%sideGQ&right6"/%0minlabelspacingGQ&0.8em6"/%,mathvariantGQ'normal6"/I+msemanticsG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"Q'Matrix6"/%%openGQ"[6"/%&closeGQ"]6"/I+msemanticsG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"Q'Matrix6"F'

NiM+SSJKRzYiLUknUlRBQkxFRzYiNiUiJ1tgZC1JJ01BVFJJWEc2IjYjNyY3JiIiISIiIiIiISIiITcmIiIhIiIhIiIhIiIhNyYiIiEiIiEiIiMiIiE3JiIiISIiISIiISIiI0knTWF0cml4RzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYi

Die (nicht eindeutige) Transformationsmatrix Q, die die Matrix A in die Jordansche Normalenform \303\274berf\303\274hrt (d.h. es gilt: Q^(-1)AQ=J), erh\303\244lt man durch den Funktionsaufruf "JordanForm(A, output='Q')". Beispiel:

Q := JordanForm(A, output='Q'); Q^(-1) . A . Q;

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Aufgaben: Man bestimme die Jordansche-Normalenform und die zugeh\303\266rige Transformationsmatrix von

a) (9,2,1), (3,14,-5), (3,2,7) (Angaben sind Zeilenvektoren) b) (3,1,-3), (-7,-2,9), (-2,-1,4) (Angaben sind Zeilenvektoren) c) (0,0,1), (1,0,-3), (0,1,3) (Angaben sind Zeilenvektoren) d) (-1,1,0,0), (0,-1,0,0), (0,0,-2,-1), (0,0,2,1) (Angaben sind Zeilenvektoren)

e) (3,0,0,-1), (1,2,0,-1), (0,1,2,-1), (0,0,1,1) (Angaben sind Zeilenangaben)

f) (2,0,0,1,0), (0,2,0,0,1), (0,0,2,0,0), (0,0,0,2,0), (0,0,0,0,1) (Angaben sind Zeilenvektoren) g) (25,-16,30,-44,-12), (13,-7,18,-26,-6), (-18,12,-21,36,12), (-9,6,-12,21,6), (11,-8,15,-22,-3) (Angaben sind Zeilenvektoren) h) (6,-2,6,1,1), (1,-1,2,1,-2), (-2,0,-1,0,-1), (-1,0,-2,2,-1), (-4,4,-6,-2,3) (Angaben sind Zeilenvektoren) i) (2,0,0,1), (0,0,-1,0), (-1,0,1,-1), (0,1,1,1) (Angaben sind Zeilenvektoren) j) (3,1,2,-4,-1), (0,3,1,0,-1), (0,0,3,1,-1), (0,0,0,2,-1), (0,0,0,0,2) (Angaben sind Zeilenvektoren) k) (1,5,-10,8,-6,4,-2,0), (1,5,-10,8,-6,4,-2,0), (0,6,-10,8,-6,4,-2,0), (0,5,-9,8,-6,4,-2,0), (0,4,-8,8,-6,4,-2,0), (0,3,-6,6,-5,4,-2,0), (0,2,-4,4,-4,4,-2,0), (0,1,-2,2,-2,2,-1,0) (Angaben sind Zeilenvektoren)

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">7.3. Jordan-Chevalley-Zerlegung:</Text-field>

Seien A, N und H jeweils nxn-dimensionale quadratische reelle oder komplexe Matrizen. Die Idee der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung ist es, die Matrix A in eine Summe H+N zu zerlegen (d.h. A=H+N), bei der H eine zu einer Diagonalmatrix \303\244hnliche und N eine nilpotente Matrix sind, die untereinander kommutieren (d.h. mit HN=NH). Mit anderen Worten beschreibt H einen halbeinfachen (also diagonalisierbaren) und N einen nilpotenten Endomorphismus. Man beachte, dass die Jordan-Chevalley-Zerlegung eindeutig ist.

Da es f\303\274r die Jordan-Chevalley-Zerlegung keinen Maple internen Funktionsaufruf gibt, m\303\274ssen wir alle Schritte manuell durchf\303\274hren. Dazu sind die mathematischen Grundkenntnisse zur Vorgehensweise von zentraler Bedeutung und dringend erforderlich. Wir werden dabei jeden Schritt kurz erkl\303\244ren. Beispiel:

with(LinearAlgebra): 1. Schritt: Definition der Matrix A := Matrix([[9,2,1],[3,14,-5],[3,2,7]]); 2. Schritt: Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Vektor lambda enth\303\244lt die Eigenwerte (von oben nach unten) und die Matrix P enth\303\244lt die zugeh\303\266rigen Eigenvektoren (von links nach rechts) (lambda,P):=Eigenvectors(A); 3. Schritt: Wir bestimmen die Eigenr\303\244ume (Hauptr\303\244ume) zu den Eigenwerten E1 := A-lambda[1]*IdentityMatrix(3): E2 := A-lambda[2]*IdentityMatrix(3): E3 := A-lambda[3]*IdentityMatrix(3): Eigenraum('A','lambda[1]'):=NullSpace(E1); Eigenraum('A','lambda[2]'):=NullSpace(E2); Eigenraum('A','lambda[3]'):=NullSpace(E3); 4. Schritt: F\303\274r den Eigenwert 12 ist die algebraische Vielfachheit 2 und die geometrische Vielfachheit (=Dimension des Eigenraums) 1. Wir m\303\274ssen P so erg\303\244nzen, dass P einen vollen Rang erh\303\244lt. Dazu berechnen wir einen zus\303\244tzlichen Eigenvektor: E4 := (A-lambda[3]*IdentityMatrix(3))^2: Hauptraum('A','lambda[3]'):=NullSpace(E4); 5. Schritt: Die ersten 2 Eigenvektoren k\303\266nnen wir von der obigen Matrix P \303\274bernehmen. F\303\274r den dritten Eigenvektor w\303\244hlen wir einen der in Schritt 4 berechneten Vektoren (hier: (0,1,0)). Auf diese Weise erhalten wir eine Transformationsmatrix mit vollem Rang. Die Matrix P und die Inverse sind gegeben durch (Achtung bei der Eingabe der Vektoren in P): P := Matrix([[-1,1,0],[1,1,1],[1,1,0]]); P^(-1); 6. Schritt: M := P^(-1).A.P; 7. Schritt: Die zu einer Diagonalmatrix \303\244hnlichen Matrix H erhalten wir, indem wir die Diagonale von M von links mit P und von rechts mit der Inversen von P multiplizieren. Die nilpotente Matrix N erhalten wir indem wir die Diagonale der Matrix M gleich 0 setzen und anschlie\303\237end von links mit P und von rechts mit der Inversen von P multiplizieren: H:=P.DiagonalMatrix(Diagonal(M), Dimension(M)[1], Dimension(M)[2]).P^(-1); N:=P.(M-DiagonalMatrix(Diagonal(M), Dimension(M)[1], Dimension(M)[2])).P^(-1); 8. Schritt: Die Probe zeigt, dass A=H+N und HN=NH erf\303\274llt sind: 'H+N'=H+N; 'H*N'=H.N; 'N*H'=N.H;

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Aufgaben: Berechne die Jordan-Chevalley-Zerlegung f\303\274r die Matrizen a) (-1,1,0,0), (0,-1,0,0), (0,0,-2,-1), (0,0,2,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) b) (3,0,0,-1), (1,2,0,-1), (0,1,2,-1), (0,0,1,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) c) (0,1,1), (1,0,1), (1,1,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) d) (1,0,1), (0,1,0), (1,0,1) (Vektoren sind Zeilenvektoren) e) (0,-1,0,1), (1,0,0,0), (0,0,0,-1), (0,0,1,0) (Vektoren sind Zeilenvektoren)